Euclides (o Euclides de Alejandría) fue un matemático griego que vivió, aproximadamente, entre los años 325 a. C. y 265 a. C. Es considerado el padre de la geometría.
Algunos investigadores piensan que no existió y que sus obras fueron firmadas con el nombre de Euclides en referencia al personaje histórico Euclides de Megara. Sin embargo, no existen suficientes evidencias para aceptar esta hipótesis.
Quizás la labor de Euclides no fue más que la de recopilar los numerosos resultados de la Antigüedad. Lo más sorprendente es que desarrolló la geometría por rigurosa deducción a partir de los axiomas y las definiciones.
LOS POSTULADOS.
Primer postulado
Por dos puntos distintos pasa una recta.
Representación gráfica:
Segundo postulado
Un segmento rectilíneo puede prolongarse continuamente en una recta.
Representación gráfica:
Tercer postulado
Hay una única circunferencia para cada centro y diámetro.
Representación gráfica:
Cuarto postulado
Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
Representación gráfica:
Quinto postulado
Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela.*
Representación gráfica:
El quinto postulado (postulado de las paralelas) es el más conocido debido a la polémica suscitada entre los matemáticos de si puede ser o no demostrado a partir de los otros cuatro.
Al incidir una recta con otras dos, los ángulos internos del mismo lado son menores que el ángulo recto, las dos rectas, prolongadas indefinidamente, se encuentran en el lado en el cual los ángulos son menores que dos ángulos rectos.
Representación gráfica:
La suma de los ángulos es menor que 180 grados:
Nótese que el quinto postulado llama la atención puesto que su redacción es más compleja que la de los otros. También es, al menos tal como aparece escrito, mucho menos intuitivo.
LOS TEOREMAS DE UCLIDES.
El teorema de Euclides demuestra las propiedades de un triángulo rectángulo al trazar una línea que lo divide en dos nuevos triángulos rectángulos que son semejantes entre sí y, a su vez, son semejantes al triangulo original; entonces, existe una relación de proporcionalidad.
El teorema de Euclides propone que en todo triangulo rectángulo, cuando se traza una recta que representa a la altura que corresponde al vértice del ángulo recto con respecto a la hipotenusa se forman dos triángulos rectángulos a partir del original.
Estos triángulos serán semejantes entre sí y también serán semejantes con el triángulo original, lo que significa que sus lados semejantes son proporcionales entre sí:
Los ángulos de los tres triángulos son congruentes; es decir, que al ser rotados a 180 grados sobre su vértice, coincide un ángulo sobre el otro. Esto implica que todos serán iguales.
De esa forma también se puede verificar la semejanza que existe entre los tres triángulos, por la igualdad de sus ángulos.
En este teorema se establece que en cualquier triangulo rectángulo, la altura trazada desde el ángulo recto con respecto a la hipotenusa es la media proporcional geométrica (el cuadrado de la altura) entre las proyecciones de los catetos que determina sobre la hipotenusa.
Es decir, el cuadrado de la altura será igual a la multiplicación de los catetos proyectados que forman la hipotenusa:
hc2 = m * n
Demostración
Dado un triángulo ABC, que es rectángulo en el vértice C, al trazar la altura se generan dos triángulos rectángulos semejantes, ADC y BCD; por lo tanto, sus lados correspondientes son proporcionales:
De tal forma que la altura hc que corresponde al segmento CD, corresponde a la hipotenusa AB = c, así se tiene que:
A su vez, esto corresponde a:
Despejando la hipotenusa (hc), para multiplicar los dos miembros de la igualdad, se tiene que:
hc * hc = m * n
hc2 = m * n
Así, el valor de la hipotenusa es dado por:
Teorema de los catetos
En este teorema se establece que, en todo triangulo rectángulo, la medida de cada cateto será la media proporcional geométrica (el cuadrado de cada cateto) entre la medida de la hipotenusa (completa) y la proyección de cada uno sobre este:
b2 = c * m
a2 = c* n
Demostración
Dado un triángulo ABC, que es rectángulo en el vértice C, de tal forma que su hipotenusa es c, al trazar la altura (h) se determinan las proyecciones de los catetos a y b, que son los segmentos m y n respectivamente, y que se encuentran sobre la hipotenusa.
Así, se tiene que la altura trazada sobre el triángulo rectángulo ABC genera dos triángulos rectángulos semejantes, ADC y BCD, de forma que los lados correspondientes son proporcionales, así:
DB = n, que es la proyección del cateto CB sobre la hipotenusa.
AD = m, que es la proyección del cateto AC sobre la hipotenusa.
Entonces, la hipotenusa c es determinada por la suma de los catetos de sus proyecciones:
c = m + n
Por la semejanza de los triángulos ADC y BCD, se tiene que:
Lo anterior es lo mismo que:
Despejando el cateto “a” para multiplicar los dos miembros de la igualdad, se tiene que:
a * a = c * n
a2 = c * n
Así, el valor del cateto “a” es dado por:
De igual forma, por la semejanza de los triángulos ACB y ADC, se tiene que:
Lo anterior es igual a:
Despejando el cateto “b” para multiplicar los dos miembros de la igualdad, se tiene que:
b * b = c * m
b2 = c * m
Así, el valor del cateto “b” es dado por:
